整数演算・フラグ・2の補数

序論

コンピュータにおける整数演算は、人間が行う四則演算とは異なり、
「固定されたビット幅」と「解釈規則」によって成立している。
本節では、8ビット整数を例に、加算・フラグ・2の補数が
どのような必然性を持って設計されているかを説明する。

本論

1. ビット幅と加算の現実

  11111111
+ 00000001
-----------
1 00000000
  

上の図は、8ビット同士の加算である。
結果として9ビット目が発生している。
この最上位ビットは保存できず、carry として扱われる。

重要なのは、carry は「意味」ではなく、
単に「ビット幅を超えた」という事実を示している点である。

2. unsigned と signed の違い

11111111 (unsigned) = 255
  

unsigned（符号なし）として解釈した場合、
8ビットで表現できる最大値は 255 である。
そこに 1 を足すと、数学的には 256 となり、
9ビット目が必要になる。

これが carry が発生する理由である。

3. 2の補数による符号表現

8ビット:
0xxxxxxx = 正の数
1xxxxxxx = 負の数
  

2の補数表現では、最上位ビット（MSB）が符号を示す。
MSB が 0 なら正、1 なら負と考えてよい。
これは「覚え方」ではなく、設計結果である。

4. なぜ 2の補数が必要なのか

  00000101  (+5)
+ 11111011  (-5)
-----------
1 00000000
  

-5 は +5 のビット反転に 1 を加えたもの（2の補数）である。
この演算結果は 0 となり、carry は無視される。

この仕組みにより、CPU は
引き算を実装せず、足し算だけで減算を実現できる。

5. なぜ 8ビット演算に 9ビット目が必要なのか

  01111111  (+127)
+ 00000001  (+1)
-----------
  10000000  (-128)
  

正の数同士を足したにもかかわらず、
結果が負になっている。
これは数値の保存自体は成功しているが、
意味が破綻している状態である。

この「意味の破綻」を検出するために、
CPU は carry とは別に overflow フラグを持つ。

6. carry と overflow の違い

carry    : ビット幅を超えたか
overflow : 符号の意味が壊れたか
  

carry は物理的事実、
overflow は論理的矛盾を示す。
両者は独立した情報である。

結論

2の補数は単なる表記法ではなく、
「加算回路だけで整数演算を完結させる」
という設計思想の結果である。

8ビット演算における 9ビット目、
carry と overflow の分離、
符号ビットの解釈は、
すべて必然的に導かれている。

Q&A

Q. なぜ MSB が 1 だと負になるのですか？

A. 2の補数では、ビット列全体を
「加算が閉じる数体系」として設計しているため、
最上位ビットが重みとして負方向に働く。

Q. なぜ引き算回路を作らないのですか？

A. 足し算回路だけで減算が可能になれば、
ハードウェアが単純になり、速く、壊れにくくなる。

Q. carry を無視してよいのはなぜですか？

A. 保存できるビット幅を超えた情報は、
その数値体系では意味を持たないためである。